[સંગીત વગાડવાનો] 

ડો LLOYD: તમે કદાચ લાગે છે કે કોડ માત્ર એક કાર્ય પરિપૂર્ણ કરવા માટે ઉપયોગ થાય છે. તમે તેને લખો. તે કંઈક કરે છે. તે ખૂબ ખૂબ છે. 

તમે તેને કમ્પાઇલ. તમે કાર્યક્રમ ચલાવો. તમે જવા માટે સારા છો. 

પરંતુ તે માને છે કે નહિં, તો જો તમે લાંબા સમય માટે કોડ તમે ખરેખર જોવા માટે આવે છે શકે છે સુંદર છે કે કંઈક તરીકે કોડ. તે સમસ્યા નિવારે એક ખૂબ જ રસપ્રદ રીતે, અથવા ખરેખર માત્ર કંઈક છે તે જુએ છે જે રીતે વિશે સુઘડ. તમે હસતી કરી શકે છે મને છે, પરંતુ તે સાચું છે. અને પુનરાવર્તનના એક રીત છે પ્રકારની આ વિચાર સુંદર, ભવ્ય દેખાવ કોડ. તે રીતે સમસ્યાઓ નિવારે છે કે , આત્મસાત્ કરવા માટે સરળ, રસપ્રદ છે અને આશ્ચર્યજનક નહીં. 

જે રીતે કામ કરે છે રિકર્ઝન ફરી યાદ આવવું કાર્ય છે, કહે છે કે એક કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે પોતે તેના અમલ ભાગ તરીકે. તે થોડી વિચિત્ર લાગે છે અને અમે થોડી જોશો આ એક ક્ષણ કેવી રીતે કામ કરે વિશે. પરંતુ ફરીથી, આ ફરી યાદ આવવું પ્રક્રિયાઓ છે જેથી ભવ્ય હોઈ ચાલે તેઓ જઈ રહ્યાં છો કારણ કે વગર આ સમસ્યા હલ કરવા માટે આ બધા અન્ય કાર્યો કર્યા અથવા આ લાંબા આંટીઓ. તમે આ યાદ આવવું કે નહીં તે જોવા મળશે કાર્યવાહી જેથી ટૂંકા જોવા માટે જતા હોય છે. અને તેઓ ખરેખર કરી રહ્યા છે તમારો કોડ ઘણો વધુ સુંદર લાગે છે. 

હું તમને એક ઉદાહરણ આપવા પડશે આ જુઓ કે કેવી રીતે ફરી યાદ આવવું પ્રક્રિયા વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે. તમે આ સાથે પરિચિત કરશો, તો તેથી ઘણા વર્ષો પહેલા ગણિત વર્ગ ત્યાં કંઈક કહેવાય છે આ સામાન્ય રીતે જે કારણદર્શી કાર્ય, ઉદ્ગાર બિંદુ તરીકે સૂચિત જે બધી હકારાત્મક પૂર્ણાંકો પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. અને જે રીતે કે એ કારણદર્શી ગણતરી કરવામાં આવે છે તમે બધા ગુણાકાર છે કરતાં નંબરો ઓછી અથવા સમાન n એકસાથે માટે બધા પૂર્ણાંકો કરતાં ઓછી અથવા એક સાથે n સમાન. 

તેથી 5 કારણદર્શી 5 વખત છે, 4 વખત 3 વખત 2 વખત 1. અને 4 કારણદર્શી 4 વખત છે 3 વખત 2 વખત 1 અને તેથી પર. તમે વિચાર કરો. 

પ્રોગ્રામરો, અમે નથી n એ, ઉદ્ગારવાચક બિંદુ ઉપયોગ કરે છે. તેથી અમે કારણદર્શી વ્યાખ્યાયિત પડશે n ના હકીકત તરીકે કાર્ય કરે છે. અને અમે બનાવવા માટે કારણદર્શી ઉપયોગ કરશો સમસ્યા એક યાદ આવવું ઉકેલ. અને હું તમને શોધી શકે છે લાગે છે તે ઘણો વધુ દૃષ્ટિની છે કે પુનરાવર્તન કરતાં અપીલ આ આવૃત્તિ છે, જેમાં અમે પણ એક ક્ષણ પર એક નજર પડશે. 

તેથી અહીં એક દંપતી છે facts-- પન હેતુપૂર્વક વિશે factorial-- આ કારણદર્શી કાર્ય. હું જણાવ્યું હતું કે 1 ના કારણદર્શી, 1. 2 કારણદર્શી 2 વખત 1. 3 કારણદર્શી 3 છે ગુણ્યા 2 તેથી ગુણ્યા 1, અને. અમે પહેલાથી જ 4 અને 5 વિશે વાત કરી. 

પરંતુ આ જોઈ, આ વાત સાચી નથી? 2 ના કારણદર્શી નથી માત્ર 2 વખત 1 કારણદર્શી? હું તેનો અર્થ, 1 કારણદર્શી 1 છે. તેથી શા માટે આપણે માત્ર કહી શકો છો કે, 2 કારણદર્શી 2 વખત 1 છે, કારણ કે તે ખરેખર માત્ર 2 વખત છે 1 ના કારણદર્શી? 

અને પછી, તે વિચાર વિસ્તરે 3 કારણદર્શી નથી માત્ર 3 ગુણ્યા 2 ના કારણદર્શી? અને 4 કારણદર્શી 4 વખત છે તેથી 3, અને કારણદર્શી? હકીકતમાં, કારણદર્શી કોઈપણ નંબર માત્ર કરી શકો છો પ્રકારની અમે તો વ્યક્ત કરી ના કાયમ આ બહાર લઇ જાય છે. અમે આ પ્રકારના સામાન્ય કરી શકો છો કારણદર્શી સમસ્યા તે છે, કારણ કે એ વખત n બાદ 1 કારણદર્શી. તે n વખત ઉત્પાદન બધા નંબરો મારા કરતા ઓછો હોય છે. 

આ વિચાર, આ આ સમસ્યા સામાન્યીકરણ, અમને પુનરાવર્તિત માટે પરવાનગી આપે છે કારણદર્શી કાર્ય વ્યાખ્યાયિત કરે છે. તમે એક કાર્ય વ્યાખ્યાયિત જ્યારે પુનરાવર્તિત, ત્યાં તે એક ભાગ પ્રયત્ન કરવાની જરૂર છે કે જે બે વસ્તુઓ. તમે કંઈક કહેવાય છે કરવાની જરૂર છે આધાર કેસ છે, કે જે, તો તમે તેને ટ્રીગર જ્યારે, ફરી યાદ આવવું પ્રક્રિયાને બંધ કરશે. 

નહિંતર, એક કાર્ય છે કે કહે છે પોતે તમે imagine-- શકે છે કાયમ પર જાઓ શકે છે. કાર્ય કાર્ય કહે છે આ વિધેય કોલ કહે કાર્ય કાર્ય કહે છે. તમે રસ્તો ન હોય તો તમારા કાર્યક્રમ તેને રોકવા માટે અસરકારક રીતે અટવાઇ કરવામાં આવશે એક અનંત લૂપ છે. તે આખરે ભાંગી જશે તે મેમરી બહાર ચલાવવા પડશે કારણ કે. પરંતુ તે બિંદુ પાછળ છે. 

અમે રોકવા માટે અમુક અન્ય રીતે કરવાની જરૂર છે અમારા કાર્યક્રમ તૂટી જવા ઉપરાંત વસ્તુઓ, ક્રેશ કે એક પ્રોગ્રામ છે, કારણ કે કદાચ સુંદર અથવા ભવ્ય નથી. અને તેથી અમે આ આધાર કેસ કૉલ કરો. આ એક સરળ ઉકેલ છે અટકે છે, કે જે સમસ્યા થવાથી ફરી યાદ આવવું પ્રક્રિયા. તેથી તે એક ભાગ છે ફરી યાદ આવવું કાર્ય. 

બીજા ભાગ ફરી યાદ આવવું કેસ છે. અને આ છે જ્યાં પુનરાવર્તન છે ખરેખર સ્થળ લેશે. આ છે જ્યાં કાર્ય પોતે ફોન કરશે. 

તે બરાબર પોતે કૉલ નહીં એ જ રીતે તે ઓળખાતું હતું. તે સહેજ તફાવત હશો તે છે આ સમસ્યા બનાવે છે એક નાનકડું થોડી નાની ઉકેલવા માટે પ્રયાસ કરે છે. પરંતુ તે સામાન્ય રીતે નર હરણ પસાર ઉકેલ ની બલ્ક ઉકેલવા ડાઉન ધ લાઇન એક અલગ કૉલ. 

આ દેખાવ જે અહીં આધાર કેસ જેવું? જે જેમ આ દેખાવ એક સમસ્યા સરળ ઉકેલ? અમે factorials એક ટોળું હોય છે, અને અમે ચાલુ કરી શકે છે તેથી થઈ 6, 7, 8, 9, 10, અને જઈ રહી છે. 

પરંતુ જેમ આ દેખાવ એક સારા કેસ આધાર કેસ હોય છે. તે ખૂબ જ સરળ ઉકેલ છે. અમે ખાસ કશું કરવાનું નથી. 

1 ના કારણદર્શી ફક્ત 1 છે. અમે કોઈપણ કરવા માટે નથી ગુણાકાર બધા. અમે જઈ રહ્યાં છો, તો એવું લાગે છે પ્રયત્ન કરો અને આ સમસ્યા ઉકેલવા માટે, અને અમે બંધ કરવાની જરૂર છે ક્યાંક પુનરાવર્તન, અમે કદાચ બંધ કરવા માંગો છો તે અમે 1 મળે ત્યારે. અમે તે પહેલાં બંધ કરવા માંગો છો નથી. 

અમે વ્યાખ્યાયિત કરી રહ્યાં છો તેથી અમારા કારણદર્શી કાર્ય, અહીં એક હાડપિંજર માટે છે અમે તે કરી શકે છે કેવી રીતે. અમે તે બે વસ્તુઓ માં પ્લગ જરૂર આધાર કેસ અને ફરી યાદ આવવું કેસ. આધાર કેસ શું છે? N 1 થી સમાન હોય, તો પાછા 1-- કે ખરેખર સરળ સમસ્યા ઉકેલવા માટે. 

1 ના કારણદર્શી 1 છે. તે 1 વખત કંઈપણ છે. તે માત્ર 1 છે. તે ખૂબ જ સરળ હકીકત છે. અને તેથી તે અમારા આધાર કેસ હોઈ શકે છે. અમે આ 1 પસાર કરો તો કાર્ય, અમે ફક્ત 1 પરત મળશે. 

ફરી યાદ આવવું શું છે કેસ કદાચ જેમ દેખાય છે? દરેક અન્ય નંબર માટે 1 આ ઉપરાંત, પેટર્ન શું છે? વેલ, અમે વાત કરી રહ્યાં છે, તો n ના કારણદર્શી તે n વખત આ n ના કારણદર્શી 1 બાદ. 

અમે 3 કારણદર્શી લઈ રહ્યાં છો, તો તે 3 ઓછા 1 3 વખત કારણદર્શી છે અથવા 2. અને અમે નથી જો એમ હોય તો નહિંતર, 1 જોઈ પરત એન વખત n બાદ 1 કારણદર્શી. તે ખૂબ સરળ છે. 

અને સહેજ કર્યા ખાતર સ્વચ્છ અને કોડ વધુ ભવ્ય, ખબર છે કે અમે એક લીટી આંટીઓ હોય તો અથવા એક લીટી શરતી શાખાઓ, અમે તમામ છુટકારો મળી શકે છે તેમને આસપાસ સર્પાકાર કૌંસ. તેથી અમે આ કરવા માટે આ એકત્રિત કરી શકે છે. આ બરાબર એ જ છે આ વિધેય. 

હું માત્ર આ સર્પાકાર દૂર લઈ રહ્યો છું માત્ર એક જ વાક્ય છે, કારણ કે, કૌંસ તે શરતી શાખાઓ પર આધારિત છે. તેથી આ સમાન રીતે અનુકૂળ વર્તન. N 1 થી સમાન હોય, તો 1 આવો. નહિંતર એ વખત પાછા n બાદ 1 કારણદર્શી. તેથી અમે નાની સમસ્યા બનાવી રહ્યા છો. એ 5 તરીકે બહાર શરૂ થાય, તો અમે જઈ રહ્યાં છો 4 5 વખત કારણદર્શી આવો. અને અમે વાત ત્યારે એક મિનિટ માં જોશો બીજી વિડિઓ કોલ stack-- વિશે જ્યાં અમે વિશે વાત અમે જાણવા મળશે stack-- કૉલ બરાબર આ પ્રક્રિયા કામ કરે છે તે વિશે. 

પરંતુ 5 જ્યારે કારણદર્શી કહે 5 વખત કારણદર્શી 4 પાછા, અને 4 વેલ, ઠીક છે, કહે છે રહ્યું છે, પાછા ફરો 4 વખત 3 કારણદર્શી. તમે જોઈ શકો છો અને, અમે છો સૉર્ટ 1 આસન્ન. અમે નજીક કરી રહ્યાં છે અને તે આધાર કેસ નજીક છે. 

અને અમે આધાર કેસ હિટ જાય, અગાઉના તમામ કાર્યોને તેઓ માટે જોઈ રહ્યા જવાબો છે. 2 કારણદર્શી રીટર્ન કહેતા હતા 2 વખત 1 કારણદર્શી. વેલ, 1 વળતર 1 કારણદર્શી. કારણદર્શી તેથી કોલ 2, 2 ગુણ્યા 1 પાછા આવી શકો છો અને કારણદર્શી કે પાછા આપી કે પરિણામ માટે રાહ જોઈ રહ્યું છે, જે 3. 

અને પછી તે ગણતરી કરી શકે છે તેના પરિણામે, 3 વખત 2, 6 છે અને 4 કારણદર્શી પાછા આપે છે. અને ફરી, અમે હોય કોલ સ્ટેક પર વિડિઓ આ થોડો સચિત્ર છે જ્યાં હું હમણાં જ કહી રહ્યો છું તે કરતાં વધુ. પરંતુ આ તે છે. આ એકલા માટે ઉકેલ છે એક નંબર કારણદર્શી ગણતરી. 

તે કોડ માત્ર ચાર રેખાઓ છે. તે સાચું છે, ખૂબ ઠંડી છે? તે સેક્સી પ્રકારની છે. 

તેથી સામાન્ય રીતે, પરંતુ હંમેશા યાદ આવવું કાર્ય એ લૂપ બદલો કરી શકો છો બિન-ફરી યાદ આવવું કાર્ય. તેથી અહીં, બાજુ દ્વારા બાજુ, પુનરાવર્તન છે કારણદર્શી કાર્ય આવૃત્તિ. આ ગણતરી બંને બરાબર એ જ વસ્તુ. 

તેઓ બંને n ના કારણદર્શી ગણતરી. ડાબી પર આવૃત્તિ તે કરવા રિકર્ઝન ઉપયોગ કરે છે. જમણી બાજુ પર આવૃત્તિ તે કરવા પુનરાવૃત્તિ ઉપયોગ કરે છે. 

સૂચના, અમે જાહેર હોય છે પૂર્ણાંક ઉત્પાદન ચલ. અને પછી અમે લૂપ. તેથી લાંબા n તરીકે અમે 0 થી વધુ છે N દ્વારા તે ઉત્પાદન ગુણાકાર રાખવા અને ત્યાં સુધી એ decrementing અમે ઉત્પાદન ગણતરી. તેથી આ બે કાર્યો, ફરી, બરાબર એ જ વસ્તુ નથી. પરંતુ તેઓ તે નથી બરાબર એ જ રીતે. 

હવે, તે શક્ય છે એક કરતાં વધુ આધાર હોય કેસ અથવા એક કરતાં વધુ ફરી યાદ આવવું કેસ આધાર રાખીને તેના પર તમારા કાર્ય કરવા માટે પ્રયાસ કરી રહ્યા છે. તમે જરૂરી માત્ર મર્યાદિત નથી એક આધાર કેસ અથવા એક યાદ આવવું કેસ. કંઈક તેથી એક ઉદાહરણ બહુવિધ આધાર કેસ હોઈ શકે છે આ આ ફિબોનાકી નંબર ક્રમ. 

તમે યાદ કરી શકે છે પ્રાથમિક શાળા દિવસ આ ફિબોનાકી ક્રમ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે આ ગમે પ્રથમ તત્વ 0 હોય છે. બીજા તત્વ 1. તે બંને માત્ર વ્યાખ્યા દ્વારા થાય છે. 

પછી દરેક અન્ય તત્વ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે n બાદ 1 અને n ઓછા 2 ની રકમ છે. ત્રીજા તત્વ તેથી 0 વત્તા 1 1 હશે. અને પછી ચોથા તત્વ બીજા તત્વ, 1 હશે, વત્તા ત્રીજા તત્વ, 1. અને તે 2 હશે. અને તેથી પર અને તેથી પર. 

તેથી આ કિસ્સામાં, અમે બે આધાર કેસો છે. N 1 થી સમાન હોય, તો 0 આવો. N 2 બરાબર છે, તો 1 આવો. નહિંતર, એ ફિબોનાકી પાછા ઓછા 1 વત્તા n બાદ 2 ફિબોનાકી. 

તેથી કે ઘણી આધાર કેસો છે. કયાં યાદ આવવું કેસ વિશે શું? વેલ, કંઈક છે આ Collatz અટકળ કહેવાય છે. હું કહી નથી જઈ રહ્યો છું તમે તે શું છે ખબર તે ખરેખર અમારી અંતિમ છે, કારણ કે આ ચોક્કસ વિડિઓ માટે સમસ્યા નથી. અને તે અમારી કસરત છે પર સાથે મળીને કામ કરવા માટે. 

તેથી અહીં શું Collatz અટકળ is-- તે દરેક હકારાત્મક પૂર્ણાંક લાગુ પડે છે. અને તે છે કે અટકળ હંમેશા શક્ય પાછા વિચાર 1 તમે આ પગલાંઓ અનુસરો તો. એ 1 છે, તો અટકાવો. એ 1 છે, તો અમે 1 પાછા મળી છે. 

અન્યથા, આ મારફતે જાઓ પ્રક્રિયા ફરીથી n 2 દ્વારા વિભાજી. તમે 1 પાછા મેળવી શકો છો અને જુઓ. એ વિચિત્ર તો, મારફતે જાઓ ફરી 3N વત્તા 1 આ પ્રક્રિયા અથવા 3 વખત n વત્તા 1. તેથી અહીં અમે એક આધાર કેસ હોય છે. N 1 થી સમાન હોય, તો અટકાવો. અમે કોઈપણ વધુ રિકર્ઝન કરી રહ્યા છીએ. 

પરંતુ અમે બે ફરી યાદ આવવું કેસ છે. એ પણ છે, તો અમે એક યાદ આવવું કરવા કેસ n 2 દ્વારા વિભાજી કહે છે. એ વિચિત્ર છે, અમે એક અલગ કરવું 3 વખત n વત્તા 1 ફરી યાદ આવવું કેસ. 

અને તેથી આ વિડિઓ માટે ધ્યેય છે , બીજા લેવા વિડિઓ વિરામ માટે, અને પ્રયાસ કરો અને આ લખવા ફરી યાદ આવવું કાર્ય Collatz જ્યાં તમે નીચેની n પાસ અને તે કેટલા પગલાંઓ તે ગણતરી તમે એ જ શરૂ જો 1 મેળવી લે છે અને તમે તે ઉપર પગલાં અનુસરો. એ 1 છે, તો તે 0 પગલાં લે છે. નહિંતર, તે ચાલી રહ્યું છે જો એક પગલું વત્તા લેવા તે ક્યાં તો એ પર લઈ જાય છે ઘણા પગલાંઓ 2 દ્વારા વિભાજી n પણ છે, અથવા 3N વત્તા 1 હોય તો એ વિચિત્ર હોય તો. 

હવે, હું અહીં સ્ક્રીન પર મૂકી દીધું છે તમે માટે ટેસ્ટ વસ્તુઓ એક દંપતિ, તમે માટે પરીક્ષણો કિસ્સાઓમાં એક દંપતિ જોવા માટે આ વિવિધ Collatz નંબરો શું છે, અને એ પણ એક ઉદાહરણ પગલાંઓ કે જેથી તમે કરી શકો છો પસાર કરવાની જરૂર છે સૉર્ટ ક્રિયા આ પ્રક્રિયા જુઓ. એ બરાબર છે, તેથી જો 1, n ના Collatz 0 હોય છે. તમે શું કરવાની જરૂર નથી કંઈપણ 1 પર પાછા વિચાર. જો તમે પહેલાથી જ ત્યાં છો. 

N 2 છે, તે લે છે એક પગલું 1 મેળવો. તમે 2 સાથે શરૂ કરો. વેલ, 2 1 બરાબર નથી. તેથી તે એક પગલું હશે વત્તા જોકે ઘણા પગલાંઓ તે પર લઈ જાય છે n 2 દ્વારા વિભાજી. 

2 દ્વારા વિભાજી 2 1 છે. તેથી તે જો એક પગલું વત્તા લે ઘણા પગલાંઓ તે 1 લે છે. 1 શૂન્ય પગલાં લે છે. 

તમે જોઈ શકો છો 3 માટે, ત્યાં છે ખૂબ થોડા પગલાંઓ સમાવેશ થાય છે. તમારી પાસે 3 થી જાય છે. અને પછી તમે પર જાઓ 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. તે 1 પર પાછા વિચાર સાત પગલાં લે છે. તમે જોઈ શકો છો અને, ત્યાં એક અહીં દંપતિ અન્ય ટેસ્ટ કેસ તમારા કાર્યક્રમ બહાર ચકાસવા માટે. તેથી ફરી, વિડિઓ વિરામ. અને હું હવે પાછા આવો જઈશ વાસ્તવિક પ્રક્રિયા અહીં શું છે, આ અટકળ શું છે. 

તમે બહાર આકૃતિ કરી શકો છો, તો જુઓ n ના Collatz વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે કેવી રીતે તે કેવી રીતે ઘણા ગણતરી છે કે જેથી તે 1 મેળવી લે છે જાય છે. તેથી આશા છે કે, તમે એ વિડીઓ રોક્યો છે અને તમે માત્ર મારા માટે રાહ જોઈ નથી અહીં તમે જવાબ આપવા માટે. પરંતુ જો તમે છે, સાથે સાથે, અહીં જવાબ કોઈપણ છે. 

તેથી અહીં શક્ય વ્યાખ્યા છે આ Collatz કાર્ય. N છે, તો અમારા આધાર કિસ્સામાં 1 માટે સમાન, અમે 0 આવો. તે કોઇ પણ લેવા નથી પગલાંઓ 1 પર પાછા વિચાર. 

અન્યથા, અમે બે ફરી યાદ આવવું cases-- છે પણ નંબરો માટે એક અને વિચિત્ર માટે. હું પણ નંબરો માટે ટેસ્ટ રીતે એ ફેરફારની 2 0 બરાબર તે ચકાસવા માટે છે. આ, ફરીથી, મૂળભૂત છે પ્રશ્ન પૂછવા, તમે શું ફેરફારની is-- યાદ તો તો હું 2 દ્વારા વિભાજીત n કોઈ બાકીની છે? તે એક પણ નંબર હશે. 

અને તેથી એન ફેરફારની 2 એ 0 સમકક્ષ હોય પરીક્ષણ આ એક પણ નંબર છે. તેથી, જો હું 1 પરત કરવા માંગો છો, આ ચોક્કસપણે છે, કારણ કે એક પગલું વત્તા Collatz લેવા ગમે નંબર મને અડધા છે. નહિંતર, હું 1 પરત કરવા માંગો છો વત્તા Collatz 3 વખત n વત્તા 1. તે અન્ય હતી ફરી યાદ આવવું પગલું છે કે અમે ગણતરી લઇ શકે છે પગલાંઓ સંખ્યા Collatz-- તે પાછા મેળવી લે છે 1 નંબર આપવામાં આવે છે. તેથી આશા છે કે, આ ઉદાહરણ તમે થોડો આપ્યો ફરી યાદ આવવું કાર્યવાહી સ્વાદ. આસ્થાપૂર્વક, તમે કોડ એક લાગે છે થોડી વધુ તો સુંદર અમલ એક ભવ્ય ફરી યાદ આવવું રીતે. પણ નથી તો પણ, રિકર્ઝન છે તેમ છતાં ખરેખર શક્તિશાળી સાધન. અને તેથી તે ચોક્કસપણે કંઈક છે આસપાસ તમારા માથા મેળવવા માટે, તમે બનાવવા માટે સમર્થ હશો, કારણ કે રિકર્ઝન ઉપયોગ સરસ કાર્યક્રમો કે અન્યથા લખવા માટે જટિલ હોઈ શકે છે તમે આંટીઓ અને પુનરાવૃત્તિ ઉપયોગ કરી રહ્યાં છો. હું ડો લોયડ છું. આ CS50 છે.